Ключевые слова: математические понятия; развитие; онтологический статус; история; идеальные системы.

В статье описывается такая важная сторона деятельности математиков, как развитие математических понятийных систем. Это движение от смутных и временами ошибочных идей ко все более ясному видению системной сути отношения понятий не выглядит созданием конструкций или конвенций, если только использование этих слов не сопровождать оговорками о существенном изменении их привычных значений. В статье рассмотрены два примера таких кардинальных сдвигов: создание динамики Исаака Ньютона и возникновение понятия комплексного числа. Научные революции такого рода описаны в статье в рамках развития кантовского трансцендентального подхода, дополненного идеями, сформулированными в первом введении к «Критике способности суждения». Эти идеи проливают свет на отношения опыта и возникающих математических теорий: опыт, как описывает этот процесс Иммануил Кант, дает «случайные причины» возникновения математических понятий или, как формулирует аналогичную идею современный феноменолог Ласло Тенгели, математические теории представляют «апостериорную необходимость» — то есть системное состояние возникающих теорий не может быть выведено из опыта или объяснено опытом, а жесткость этих систем не позволяет считать их конвенциями.
В статье рассматривается диалектическое описание развития научных понятий, данное Владимиром Библером, а также идеи Уилларда Куайна, Хилари Патнэма и Пола Бенасеррафа. Вывод статьи: непостижимость эффективности математики в физике, как и непостижимость продуктивных продвижений систем математических понятий вне непосредственной связи с практикой, есть не риторическая фигура, а совершенно принципиальное обстоятельство, и свидетельствует об особом онтологическом статусе математики.